Programme de mathématiques en PSI

Le programme de PSI en un coup d’œil

Le même programme de mathématiques s’applique aux classes PSI et PSI*. Le programme officiel est organisé autour de l’algèbre linéaire, des espaces euclidiens, des espaces vectoriels normés, des suites et séries de fonctions, de l’intégration sur un intervalle quelconque, des variables aléatoires discrètes et du calcul différentiel.

Par rapport à la première année, les nouveautés principales sont la réduction des endomorphismes, le théorème spectral, la topologie des espaces normés, plusieurs modes de convergence pour les fonctions, les intégrales généralisées, les variables aléatoires discrètes à support dénombrable et les fonctions de plusieurs variables.

Algèbre linéaire : réduction, matrices et polynômes

Les premiers chapitres complètent l’algèbre linéaire de première année avec les sommes et sommes directes de sous-espaces, les bases adaptées, les matrices par blocs, la trace, les polynômes d’endomorphismes et de matrices, ainsi que l’interpolation de Lagrange et le déterminant de Vandermonde.

La réduction traite les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres, le polynôme caractéristique, la diagonalisation et la trigonalisation. Le critère de trigonalisation est étudié, mais la technique générale de trigonalisation n’est pas au programme ; les calculs effectifs sont limités à des exemples simples de petite dimension avec des indications. Il faut savoir traduire les résultats entre les points de vue géométrique et matriciel.

Deux limites sont explicites dans le texte officiel : les classes de similitude et le polynôme minimal sont hors programme.

Espaces euclidiens : projection, isométries et théorème spectral

Le programme comprend la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie, les isométries vectorielles, les endomorphismes autoadjoints et leur représentation par des matrices symétriques dans une base orthonormée.

Le théorème spectral affirme que tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien admet une base orthonormée de vecteurs propres. Sa démonstration n’est pas exigible. Les endomorphismes et matrices symétriques positifs ou définis positifs sont également au programme, notamment pour l’étude des extremums au second ordre.

La notion générale d’adjoint est explicitement hors programme.

Espaces vectoriels normés : normes, ouverts et fermés

Le chapitre introduit les normes, la distance associée, les boules, les parties bornées, les ouverts, les fermés, l’adhérence et la densité. Les notions de convergence d’une suite, de limite et de continuité sont alors formulées dans un espace vectoriel normé et non plus seulement sur la droite réelle.

En dimension finie, le programme contient notamment l’équivalence des normes, la caractérisation de la convergence par les coordonnées, le théorème des bornes atteintes sur une partie fermée et bornée, ainsi que la continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales.

Séries numériques, suites et séries de fonctions

Les séries numériques sont complétées par la comparaison série-intégrale, la formule de Stirling, la règle de d’Alembert, le théorème spécial des séries alternées et le produit de Cauchy de séries absolument convergentes.

Pour les suites et séries de fonctions, il faut distinguer convergence simple, convergence uniforme et, pour les séries, convergence normale. Le programme précise les hypothèses permettant de transmettre à la limite ou à la somme la continuité, l’intégration ou la dérivation.

Les séries entières permettent de construire et étudier des fonctions, y compris de variable complexe, et interviennent aussi dans la résolution d’équations différentielles et dans les fonctions génératrices en probabilités.

Intégration sur un intervalle quelconque

Le programme introduit les intégrales généralisées et la notion de fonction intégrable sur un intervalle quelconque.

Il faut savoir étudier la convergence d’une intégrale, comparer des fonctions, utiliser le théorème de convergence dominée et justifier une intégration terme à terme. Les intégrales dépendant d’un paramètre font également partie du programme, avec des théorèmes permettant d’établir leur continuité ou leur dérivabilité sous des hypothèses précises.

Variables aléatoires discrètes

La théorie des probabilités est étendue des variables aléatoires finies aux variables aléatoires discrètes prenant éventuellement une infinité dénombrable de valeurs. C’est la raison de l’introduction des ensembles dénombrables et des familles sommables.

Le programme traite les lois discrètes usuelles, l’espérance, la variance, l’indépendance et les fonctions génératrices. Il conduit aussi à la loi faible des grands nombres pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de variance finie.

Équations différentielles et calcul différentiel

Pour les équations différentielles, le programme est limité aux équations linéaires scalaires d’ordre 2. Le théorème de Cauchy permet d’étudier la structure de l’ensemble des solutions ; des exemples d’équations ou de systèmes linéaires à coefficients constants peuvent aussi être traités en lien avec la réduction.

Le calcul différentiel comprend ensuite les fonctions vectorielles et les courbes paramétrées, puis les fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentielle, gradient, lignes et surfaces de niveau, tangentes et plans tangents.

Au second ordre apparaissent la matrice hessienne, la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 et l’étude des extremums. Cette dernière partie utilise directement les matrices symétriques et les résultats d’algèbre euclidienne étudiés plus tôt dans l’année.

Comment lire le texte officiel

Le Bulletin officiel distingue les connaissances et méthodes exigibles, les démonstrations dont la connaissance n’est pas exigée et les notions explicitement hors programme. Une notion indiquée « hors programme » ne peut pas faire l’objet d’une épreuve d’évaluation.