Devoir maison de mathématiques · Division par zéro, wheels et droite projective
Sur la possibilité de diviser par zéro
Partir du corps des fractions d’un anneau intègre, autoriser les dénominateurs nuls sans effondrer le quotient, faire apparaître la droite projective et un point singulier, puis retrouver la localisation ordinaire et une propriété universelle de la construction des wheels.
Objectifs
Ce que ce DM fait travailler
- Construire un quotient de fractions autorisant les dénominateurs nuls et en vérifier la bonne définition
- Identifier la droite projective et le rôle singulier du couple nul dans la construction
- Retrouver le corps des fractions comme partie régulière d’une wheel
- Comprendre pourquoi la distributivité doit être modifiée hors de la partie régulière
- Établir une propriété concrète de factorisation et d’unicité expliquant le caractère naturel de la construction
Avant de commencer
Prérequis utiles
Il n’est pas nécessaire de tout maîtriser parfaitement, mais ces notions doivent être déjà connues pour que le devoir reste un travail de raisonnement plutôt qu’un rattrapage de cours.
- Anneaux commutatifs, anneaux intègres et corps
- Relations d’équivalence et quotients
- Morphismes d’anneaux et de monoïdes
- Éléments inversibles
- Calcul dans un corps de fractions
Méthode
Comment l’utiliser
Prévoir environ 5 h et garder une trace des essais, y compris ceux qui échouent.
Écrire une solution justifiée avant d’ouvrir le corrigé, même si certaines questions restent incomplètes.
Repérer les différences de méthode, de précision et de rédaction plutôt que seulement les résultats.