Pourquoi √(x²) = |x| et non x ?

On rencontre souvent cette simplification :

$$\sqrt{x^2}=x.$$

Elle semble naturelle : le carré et la racine carrée paraissent être deux opérations qui « s’annulent ». Pourtant, cette égalité est fausse lorsque $x$ est négatif.

Prenons immédiatement $x=-4$ :

$$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4.$$

On obtient $4$, et non $-4$.

La formule correcte est

$$\boxed{\sqrt{x^2}=|x|}$$

pour tout réel $x$.

Tout vient de deux faits : le carré fait perdre l’information sur le signe, tandis que la racine carrée désigne par définition l’unique nombre positif ou nul dont le carré donne le nombre considéré.

Que signifie exactement la racine carrée ?

Soit $a$ un réel positif ou nul.

La racine carrée de $a$, notée $\sqrt a$, est l’unique réel positif ou nul dont le carré vaut $a$.

Par exemple,

$$\sqrt{25}=5$$

car

$$5^2=25$$

et $5$ est positif.

Le nombre $-5$ a lui aussi pour carré $25$ :

$$(-5)^2=25.$$

Mais cela ne signifie pas que

$$\sqrt{25}=-5.$$

Par définition,

$$\boxed{\sqrt{25}=5}.$$

Le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ désigne donc toujours le nombre positif ou nul correspondant.

C’est précisément ce qui explique le rôle de la valeur absolue dans $\sqrt{x^2}$.

Le carré fait perdre l’information sur le signe

Prenons $4$ et $-4$ :

$$4^2=16$$

et

$$(-4)^2=16.$$

Les deux nombres ont le même carré.

Plus généralement, pour tout réel $x$,

$$(-x)^2=x^2.$$

Une fois que l’on connaît seulement $x^2$, on ne peut donc plus savoir si le nombre de départ était positif ou négatif.

Si $x=4$,

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{16}=4=x.$$

Mais si $x=-4$,

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{16}=4=-x.$$

Il faut donc une écriture qui donne $x$ lorsque $x$ est positif ou nul, et $-x$ lorsque $x$ est négatif. C’est exactement le rôle de la valeur absolue.

Qu’est-ce que la valeur absolue de $x$ ?

La valeur absolue d’un réel $x$, notée $|x|$, est la distance entre $x$ et $0$ sur la droite des nombres.

Ainsi,

$$|5|=5$$

et

$$|-5|=5,$$

car $5$ et $-5$ sont tous les deux à une distance $5$ de $0$.

Cette définition conduit à l’écriture par cas

$$|x|= \begin{cases} x & \text{si }x\geq 0,\\ -x & \text{si }x<0. \end{cases}$$

Attention : la valeur absolue ne consiste pas simplement à « enlever un signe moins ». Dans une expression comme $|x-2|$, le signe de $x-2$ dépend de la valeur de $x$.

L’interprétation comme distance est particulièrement utile ici : après avoir pris le carré de $x$, le signe a disparu, mais la distance de $x$ à $0$ reste déterminée.

Démonstration de $\sqrt{x^2}=|x|$

Soit $x$ un réel.

Comme

$$x^2\geq 0,$$

la quantité $\sqrt{x^2}$ est bien définie.

Distinguons deux cas.

Si $x\geq 0$

Le nombre $x$ est positif ou nul et son carré vaut $x^2$.

Par définition de la racine carrée,

$$\sqrt{x^2}=x.$$

Or, lorsque $x\geq0$,

$$|x|=x.$$

Donc

$$\sqrt{x^2}=|x|.$$

Si $x<0$

Alors $-x>0$.

De plus,

$$(-x)^2=x^2.$$

Le nombre positif dont le carré vaut $x^2$ est donc $-x$. Ainsi,

$$\sqrt{x^2}=-x.$$

Or, lorsque $x<0$,

$$|x|=-x.$$

Donc, là encore,

$$\sqrt{x^2}=|x|.$$

Dans tous les cas,

$$\boxed{\sqrt{x^2}=|x|}.$$

On peut aussi condenser le raisonnement. On a $|x|\geq0$ et

$$|x|^2=x^2.$$

Par définition de la racine carrée comme unique nombre positif ou nul dont le carré vaut $x^2$,

$$\sqrt{x^2}=|x|.$$

Pourquoi $\sqrt9=3$, alors que $x^2=9$ a deux solutions ?

C’est une confusion fréquente, mais les deux écritures ne posent pas la même question.

Calculer $\sqrt9$

On cherche la racine carrée de $9$, c’est-à-dire l’unique nombre positif ou nul dont le carré vaut $9$.

Donc

$$\boxed{\sqrt9=3}.$$

Écrire

$$\sqrt9=\pm3$$

est faux.

Résoudre $x^2=9$

Cette fois, on cherche tous les réels $x$ dont le carré vaut $9$.

Or,

$$3^2=9$$

mais aussi

$$(-3)^2=9.$$

L’équation possède donc deux solutions :

$$\boxed{x=-3\quad\text{ou}\quad x=3}.$$

Autrement dit, $\sqrt9$ désigne un nombre, tandis que $x^2=9$ est une équation dont on cherche toutes les solutions.

Le signe $\pm$ n’appartient donc pas à la valeur de $\sqrt9$. Il sert éventuellement à rassembler les deux solutions d’une équation comme $x^2=9$.

La formule vaut aussi pour une expression

La propriété ne concerne pas seulement la lettre $x$.

Si $A$ est une expression qui représente un nombre réel, alors

$$\boxed{\sqrt{A^2}=|A|}.$$

Par exemple,

$$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|.$$

On ne peut pas remplacer automatiquement cette expression par $x-2$, car $x-2$ peut être positif ou négatif.

Il faut donc regarder son signe.

Exemple : simplifier $\sqrt{(x-2)^2}$

On commence par appliquer la propriété :

$$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|.$$

Si $x\geq2$

Alors

$$x-2\geq0,$$

donc

$$|x-2|=x-2.$$

Ainsi,

$$\boxed{\sqrt{(x-2)^2}=x-2}.$$

Si $x<2$

Alors

$$x-2<0,$$

donc

$$|x-2|=-(x-2)=2-x.$$

Ainsi,

$$\boxed{\sqrt{(x-2)^2}=2-x}.$$

Finalement,

$$\boxed{ \sqrt{(x-2)^2} = \begin{cases} x-2 & \text{si }x\geq2,\\ 2-x & \text{si }x<2. \end{cases} }$$

Un test simple permet de voir pourquoi $\sqrt{(x-2)^2}=x-2$ serait faux en général. Pour $x=0$,

$$\sqrt{(0-2)^2}=\sqrt4=2,$$

alors que

$$0-2=-2.$$

La méthode pratique à retenir

Lorsqu’une expression est de la forme

$$\sqrt{A^2},$$

commence par écrire

$$\sqrt{A^2}=|A|.$$

Ensuite, si l’on veut supprimer les barres de valeur absolue, il faut déterminer le signe de $A$ :

$$|A|= \begin{cases} A & \text{si }A\geq0,\\ -A & \text{si }A<0. \end{cases}$$

Par exemple,

$$\sqrt{(3x+6)^2}=|3x+6|.$$

Pour aller plus loin et écrire cette expression sans valeur absolue, il faut étudier le signe de $3x+6$, donc comparer $x$ à $-2$.

Le point important est de ne jamais faire disparaître le carré en oubliant la question du signe.

Ce que dit exactement le programme de Seconde

Le programme officiel de mathématiques de Seconde, applicable depuis la rentrée 2026-2027, mentionne explicitement parmi les contenus d’algèbre les règles de calcul sur les racines carrées et la relation

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Dans la partie consacrée aux nombres réels, il introduit aussi $|a|$ comme la distance de $a$ à $0$ et précise que les autres utilisations de la notation de valeur absolue ne constituent pas un attendu du programme.

La définition par cas et les exemples développés ici servent donc à comprendre et justifier la relation $\sqrt{x^2}=|x|$. Il ne faut pas en déduire que le programme demande une étude générale du calcul avec les valeurs absolues.

Erreurs fréquentes

Écrire $\sqrt{x^2}=x$ sans condition

Cette égalité n’est vraie que lorsque $x\geq0$.

Pour tout réel $x$, la formule correcte est

$$\boxed{\sqrt{x^2}=|x|}.$$

Écrire $\sqrt9=\pm3$

C’est faux. La racine carrée de $9$ est

$$\sqrt9=3.$$

En revanche, l’équation $x^2=9$ possède deux solutions : $-3$ et $3$.

Oublier le signe de l’expression

On a

$$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|,$$

mais on ne peut pas remplacer $|x-2|$ par $x-2$ pour toutes les valeurs de $x$.

Dire que carré et racine carrée « s’annulent toujours »

Le carré n’est pas injectif sur l’ensemble des réels : deux nombres opposés ont le même carré.

Par exemple,

$$4^2=(-4)^2.$$

Une opération qui a fait perdre l’information sur le signe ne peut pas la reconstituer ensuite.

Exercices rapides

Exercice 1

Calculer

$$\sqrt{(-7)^2}.$$

Réponse :

$$\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7.$$

Exercice 2

Simplifier

$$\sqrt{(x+3)^2}.$$

Réponse :

$$\boxed{|x+3|}.$$

Si l’on veut ensuite écrire le résultat sans valeur absolue,

$$\sqrt{(x+3)^2} = \begin{cases} x+3 & \text{si }x\geq-3,\\ -x-3 & \text{si }x<-3. \end{cases}$$

Exercice 3

Résoudre

$$x^2=25.$$

Réponse :

$$\boxed{x=-5\quad\text{ou}\quad x=5}.$$

Cela ne doit pas être confondu avec

$$\sqrt{25}=5.$$

Exercice 4

Un élève écrit

$$\sqrt{(2x-1)^2}=2x-1.$$

Trouver une valeur de $x$ qui montre que cette égalité n’est pas toujours vraie.

Correction :

Prenons $x=0$. Alors

$$\sqrt{(2\times0-1)^2} =\sqrt{(-1)^2} =1,$$

tandis que

$$2\times0-1=-1.$$

La formule correcte est donc

$$\boxed{\sqrt{(2x-1)^2}=|2x-1|}.$$

À retenir

Le point essentiel tient en une formule :

$$\boxed{\sqrt{x^2}=|x|}.$$

Le carré fait perdre l’information sur le signe de $x$. La racine carrée, elle, désigne l’unique nombre positif ou nul dont le carré donne le nombre considéré.

C’est pourquoi

$$\sqrt{(-4)^2}=4$$

et non $-4$.

Enfin, il faut distinguer soigneusement

$$\boxed{\sqrt9=3}$$

de

$$\boxed{x^2=9\iff x=-3\text{ ou }x=3}.$$

La première écriture désigne une racine carrée ; la seconde demande de résoudre une équation.