Une fonction continue partout et dérivable nulle part

Une fonction dérivable est toujours continue. La réciproque est fausse : peut-elle échouer au point qu'une fonction soit continue partout mais dérivable nulle part ? Nous allons construire un tel contre-exemple. L'idée est de superposer des dents triangulaires de plus en plus petites : leurs hauteurs disparaissent, mais pas leurs pentes.

I — Une dent triangulaire

On définit $\varphi(x)$ comme la distance de $x$ à l'entier le plus proche :

$$\varphi(x)=\min_{k\in\mathbb Z}|x-k|.$$

(a) Montrer que, pour tout réel $x$,

$$\varphi(x+1)=\varphi(x).$$

IDÉEDans le minimum qui définit $\varphi(x+1)$, introduire $j=k-1$ et remarquer que $j$ parcourt encore tous les entiers.

(b) Pour $x\in[0,1]$, montrer que le minimum qui définit $\varphi(x)$ est atteint pour l'un des entiers $0$ ou $1$. En déduire

$$\varphi(x)=\min(x,1-x).$$

(c) En déduire que

$$0\leq \varphi(x)\leq \frac12$$

pour tout $x\in\mathbb R$, puis tracer l'allure de $\varphi$ sur $[-1,2]$.

2. Montrer que, pour tous réels $x,y$,

$$|\varphi(x)-\varphi(y)|\leq |x-y|.$$

IDÉEChoisir un entier $p$ tel que $\varphi(y)=|y-p|$, utiliser l'inégalité triangulaire, puis échanger les rôles de $x$ et $y$.

3. Pour $n\in\mathbb N$, on pose

$$f_n(x)=2^{-n}\varphi(2^n x).$$

Montrer que, pour tous $x,y\in\mathbb R$,

$$0\leq f_n(x)\leq 2^{-n-1} \qquad\text{et}\qquad |f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|.$$

II — Construire la fonction limite

Pour $N\geq1$, on additionne les $N$ premières dents et on pose

$$T_N(x)=\sum_{n=0}^{N-1}f_n(x).$$

4. Pour $x$ fixé, montrer que la suite $(T_N(x))_{N\geq1}$ est croissante et majorée. En déduire qu'elle converge. On note

$$T(x)=\lim_{N\to+\infty}T_N(x).$$

(a) Soient $M>N\geq1$. Écrire $T_M(x)-T_N(x)$ sous la forme d'une somme portant sur les indices $n=N,\ldots,M-1$.

(b) À l'aide de la question 3, montrer que

$$0\leq T_M(x)-T_N(x) \leq \sum_{n=N}^{M-1}2^{-n-1} \leq 2^{-N}.$$

(c) En déduire que, pour tout $N\geq1$,

$$0\leq T(x)-T_N(x)\leq 2^{-N}.$$

(a) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $f_n$ est $1$-périodique.

(b) En déduire que chaque $T_N$ est $1$-périodique.

(c) Montrer que $T$ est $1$-périodique.

III — Montrer que la fonction limite est continue

Pour chaque réel $x$, la valeur $T(x)$ est définie comme la limite des valeurs $T_N(x)$. Nous allons comparer $T(x)$ et $T(y)$ en nous appuyant sur une approximation $T_N$.

7. Montrer que, pour tous $x,y\in\mathbb R$ et tout $N\geq1$,

$$|T_N(x)-T_N(y)|\leq N|x-y|.$$

IDÉEDévelopper $T_N(x)-T_N(y)$ puis utiliser l'inégalité triangulaire et la question 3.

(a) Écrire $T(x)-T(y)$ en faisant apparaître successivement $T_N(x)$ puis $T_N(y)$.

(b) En utilisant l'inégalité triangulaire, la question 5 et la question 7, montrer que

$$|T(x)-T(y)|\leq 2^{1-N}+N|x-y|.$$

En Terminale, la continuité de $T$ en un réel $x$ s'exprime par

$$\lim_{y\to x}T(y)=T(x).$$

Pour les fonctions usuelles, les règles de calcul sur les limites permettent souvent de vérifier directement cette égalité. L'estimation de la question 7 montre notamment que chaque $T_N$ est continue. Mais ici, $T$ est elle-même définie comme la limite de la suite de fonctions $(T_N)$ : la continuité de chacune des approximations ne permet pas, à elle seule, de conclure automatiquement que leur limite $T$ est continue. Pour exploiter l'estimation obtenue à la question 8, nous utiliserons une formulation plus précise de la même notion de limite, généralement formalisée dans l'enseignement supérieur et donnée ici :

$$\boxed{\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall y\in\mathbb R,\quad |x-y|<\delta\Longrightarrow |T(x)-T(y)|<\varepsilon.}$$

Autrement dit, on doit pouvoir rendre $T(y)$ aussi proche que l'on veut de $T(x)$ en choisissant $y$ suffisamment proche de $x$ : $\varepsilon$ fixe la précision souhaitée sur les valeurs de la fonction, tandis que $\delta$ indique à quel point il faut rapprocher $y$ de $x$.

La question suivante consiste à établir exactement cette propriété.

9. Soient $x\in\mathbb R$ et $\varepsilon>0$.

(a) Expliquer pourquoi on peut choisir un entier $N\geq1$ tel que

$$2^{1-N}<\frac{\varepsilon}{2}.$$

(b) Pour cet entier $N$, donner un choix de $\delta>0$ tel que

$$N\delta\leq\frac{\varepsilon}{2}.$$

(c) Pour ces choix de $N$ et $\delta$, montrer que, pour tout $y\in\mathbb R$,

$$|x-y|<\delta \Longrightarrow |T(x)-T(y)|<\varepsilon.$$

Conclure que $T$ est continue en $x$, puis sur $\mathbb R$.

IV — Une grille pour lire les pentes

On appelle nombre dyadique tout réel qui peut s'écrire $k/2^m$, avec $k\in\mathbb Z$ et $m\in\mathbb N$. Pour $N\geq1$, on note

$$\mathcal G_N=\left\{\frac{k}{2^N}\,;\ k\in\mathbb Z\right\}.$$

Deux points consécutifs de cette grille délimitent l'intervalle

$$I_{N,k}= \left[\frac{k}{2^N},\frac{k+1}{2^N}\right].$$

10. Soient

$$a=\frac{k}{2^N}, \qquad b=\frac{k+1}{2^N}.$$

Montrer que

$$f_n(a)=f_n(b)=0$$

pour tout $n\geq N$.

(a) Montrer que les changements de pente de $f_n$ ont lieu aux points de la forme

$$\frac{j}{2^{n+1}}, \qquad j\in\mathbb Z.$$

(b) Si $n<N$, montrer que tous ces points appartiennent à $\mathcal G_N$. En déduire qu'aucun changement de pente de $f_n$ ne se trouve dans l'intervalle ouvert

$$\left(\frac{k}{2^N},\frac{k+1}{2^N}\right).$$

(c) Montrer alors que $f_n$ est affine sur $I_{N,k}$ et que sa pente vaut $+1$ ou $-1$.

12. On reprend

$$a=\frac{k}{2^N}, \qquad b=\frac{k+1}{2^N},$$

et on note $\sigma_{N,k}$ la pente de la corde joignant les points $(a,T(a))$ et $(b,T(b))$.

(a) Pour $n<N$, noter $\varepsilon_n\in\{-1,+1\}$ la pente de $f_n$ sur $I_{N,k}$.

(b) En utilisant aussi la question 10, montrer que

$$\sigma_{N,k}=\varepsilon_0+\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_{N-1}.$$

V — Zoom autour d'un point non dyadique

Soit $x$ un réel non dyadique. Pour chaque $N\geq1$, il existe un unique entier $k_N$ tel que

$$\frac{k_N}{2^N}<x<\frac{k_N+1}{2^N}.$$

On pose

$$a_N=\frac{k_N}{2^N}, \qquad b_N=\frac{k_N+1}{2^N}, \qquad I_N=[a_N,b_N],$$

et on note $s_N$ la pente de la corde de $T$ entre $a_N$ et $b_N$.

(a) Montrer que

$$a_N\longrightarrow x \qquad\text{et}\qquad b_N\longrightarrow x.$$

(b) Montrer que $I_{N+1}$ est l'une des deux moitiés de $I_N$. À l'aide de la question 12, montrer que

$$s_{N+1}-s_N\in\{-1,+1\}.$$

(c) En déduire que la suite $(s_N)$ ne converge pas dans $\mathbb R$.

14. Soit $g$ une fonction dérivable en $x$. On considère deux suites $(a_N)$ et $(b_N)$ telles que

$$a_N<x<b_N, \qquad a_N\to x, \qquad b_N\to x.$$

(a) Pour tout $N$, on définit

$$u_N=\frac{g(x)-g(a_N)}{x-a_N}, \qquad v_N=\frac{g(b_N)-g(x)}{b_N-x}.$$

Déterminer les limites de $(u_N)$ et $(v_N)$.

(b) Pour tout $N$, on définit

$$\alpha_N=\frac{x-a_N}{b_N-a_N}, \qquad \beta_N=\frac{b_N-x}{b_N-a_N}.$$

Montrer que $\alpha_N,\beta_N\geq0$, que $\alpha_N+\beta_N=1$, puis que

$$\frac{g(b_N)-g(a_N)}{b_N-a_N} =\alpha_Nu_N+\beta_Nv_N.$$

(c) On note $L=g'(x)$. Montrer que

$$|\alpha_Nu_N+\beta_Nv_N-L| \leq \alpha_N|u_N-L|+\beta_N|v_N-L| \leq \max\bigl(|u_N-L|,|v_N-L|\bigr).$$

(d) En déduire que

$$\frac{g(b_N)-g(a_N)}{b_N-a_N} \longrightarrow g'(x).$$

15. Supposer que $T$ est dérivable en un réel non dyadique $x$. Comparer les conclusions des questions 13 et 14 et obtenir une contradiction.

VI — Zoom autour d'un point dyadique

Un nombre dyadique appartient, à partir d'un certain rang, à toutes les grilles $\mathcal G_N$. Il doit donc être étudié séparément.

16. Soit

$$x=\frac{k}{2^m}, \qquad m\geq1,$$

une telle écriture étant toujours possible pour un nombre dyadique. Pour $N\geq m$, on considère

$$J_N=[x,x+2^{-N}].$$

(a) Soient $m\leq n<N$ et $t\in J_N$. Montrer que $2^nx$ est entier et que

$$0\leq 2^n(t-x)\leq\frac12.$$

En déduire que $f_n$ est affine de pente $+1$ sur $J_N$.

(b) Vérifier que $J_m=I_{m,k}$. Pour $n<m$, utiliser la question 11 pour justifier que $f_n$ est affine sur $J_m$. On note $c_n\in\{-1,+1\}$ sa pente et on définit

$$C=c_0+\cdots+c_{m-1}.$$

Expliquer pourquoi $C$ ne dépend pas de $N$.

(a) Montrer que les fonctions $f_n$ avec $n\geq N$ prennent la valeur $0$ aux deux extrémités de $J_N$.

(b) En déduire que la pente de la corde de $T$ sur $J_N$ vaut

$$C+(N-m).$$

(c) Déterminer le comportement de cette pente lorsque $N\to+\infty$. Expliquer pourquoi $T$ ne peut pas être dérivable en $x$.

18. Énoncer précisément le résultat obtenu pour la fonction $T$.

IDÉELes hauteurs des nouvelles dents sont de l'ordre de $2^{-n}$ : elles deviennent donc négligeables. Leurs pentes, elles, restent égales à $+1$ ou $-1$. C'est cette opposition qui permet à la courbe de rester continue tout en empêchant toute tangente de se stabiliser.

Représentation de $T$ sur $[0,1]$ obtenue en traçant $T_8$. D'après la question 5, l'écart vertical entre $T$ et $T_8$ est au plus $2^{-8}=1/256$.