Devoirs maison de maths en MPI

Différences finies, base adaptée et formule de Newton

Ce DM de MP/MPI étudie l'opérateur de différence finie ΔP(X)=P(X+1)-P(X) sur les polynômes. On détermine ses noyaux et ses images, on construit la base binomiale dans laquelle Δ agit par décalage, puis on obtient la formule de Newton, des formules de sommes et une caractérisation des suites polynomiales.

Division par zéro, fractions et wheels

Pourquoi la division par zéro est-elle impossible dans un corps, et comment les wheels changent-elles précisément le cadre ? Ce DM de MP et MPI part des fractions, fait émerger naturellement un infini et un élément singulier, construit une wheel, puis retrouve l’arithmétique ordinaire dans sa partie régulière.

Pourquoi les systèmes invariants par décalage se simplifient-ils dans la même base ?

Ce DM de MP/MPI fait naître la transformée de Fourier discrète de la diagonalisation du décalage cyclique. Il caractérise les matrices circulantes comme les endomorphismes qui commutent avec ce décalage, transforme la convolution en multiplication, résout un système de type laplacien cyclique et conduit à un principe d’incertitude discret avec des cas d’égalité explicites.